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社群媒體上有些相關的討論：

轉動慣量積分 在 Re: [問題] 轉動慣量之推導- 看板Physics 的推薦與評價


作者MathforPhy (Wakka)
看板Physics
標題Re: [問題] 轉動慣量之推導
時間Mon Nov 7 22:35:56 2011

※ 引述《Deconation (豬豬)》之銘言：
: 我在書上讀到轉動慣量的式子如下
: I = ∫r^2 dm
記住裡面的r是質點到轉軸的距離
: 書上有一例是 一質量M 長L的均勻竿 以其質心(L/2)為轉動軸 求其轉動慣量
: 然後竿上取某一小段 距離質心x 此段小段長dx 質量dm 由於是均勻竿
: 所以竿上各點之 質量/長度比例均同 可寫成 dm/dx = M/L 即可將式中dm代換掉
: 最後積分 I = ∫ x^2 M/L dx 上下界為L/2,-L/2
: 這個推導我看的懂 但是換成別種型式的我就不知道該怎麼辦了
: 比方說 質量M 半徑R 之均勻圓盤的轉動慣量 它的dm要用什麼代換??? 在圓盤上取一小片
: 那一小片又該怎麼寫?? 還是我的想法有錯呢@@??
把他切割成一個一個寬度為dr(dr<<r)的小圓環，這樣子半徑就是r+dr，角度是2pi
所以那個小圓環的質量dm就是pi(r+dr)^2 - pir^2
pi(r+dr)^2 = pi[r^2+2rdr+(dr)^2] --> pi(r+dr)^2 - pir^2 = 2pi(rdr)(dr^2太小了)
所以I = ∫2pi(r^3)dr (0~R)= pi(r^4)/2，又M=pi(r^2)--->I = MR^2/2
這邊假設密度d=1，其實只是懶得補回去而已
: 再舉一例 https://ppt.cc/mSMr
: 此為長L 半徑R 質量M 以圓心為轉動軸的均勻圓柱體 求其轉動慣量
: 還是同樣的問題 我該怎麼去將dm代換掉呢@@?
: 書本上還有 球體 圓環 扁長方體 等等的轉動慣量推導 若可以 煩請板友簡述一下其假設
: 過程
: 再此先謝過各位板上前輩!!
我覺得你可能還沒學過重積分，有些轉動慣量用重積分很快，但單變數也行

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.41.219.126
推 Deconation:半徑是r+dr 這段我看不懂@@ 切成寬dr的小圓環 為何還 11/07 22:42
→ Deconation:要加上r呢?? 不是已經切割了嗎@@??? 11/07 22:43
→ Deconation:dm=2π(r+dr)^2 - 2π^2 此式是從何而知呢@@? 11/07 22:44
→ Deconation:小弟我剛上大一不久^^" 物理程度差差的 煩請Math大詳細 11/07 22:45
→ Deconation:說明一下 謝謝你^^!!! 11/07 22:45
→ MathforPhy:因為有內徑跟外徑阿，圓環的質量不就是 11/07 22:50
→ MathforPhy:pi(外徑平方-內徑平方) 11/07 22:50
→ MathforPhy:你就畫一個內半徑為r，外半徑為r+dr的環就知道了 11/07 22:53
→ MathforPhy:https://ppt.cc/0LMl 11/07 22:57
→ Deconation:原來如此!! 我知道了 謝謝Math大 還特地去畫圖X"D 11/07 23:19
推 Deconation:疑 Math大的方法 是圓盤還是圓環!? 11/08 20:59
→ Deconation:我原先的PO文 有人說用 D=M/V 去代換掉dm 可是像圓環 11/08 20:59
→ Deconation:或圓盤這樣子的物體 要怎麼算其體積@@? 11/08 21:00
→ MathforPhy:圓環積分起來就變圓盤囉 11/08 21:10
→ MathforPhy:圓盤或圓環就把體積當作面積，不然的話他們h=0 11/08 21:14
※ 編輯: MathforPhy 來自: 114.38.164.204 (11/12 19:29)
※ 編輯: MathforPhy 來自: 114.38.164.204 (11/12 19:30)
→ sneak: 圓盤或圓環就把體積當作 https://muxiv.com 08/13 16:29
→ sneak: dm=2π(r+dr) https://daxiv.com 09/17 14:28






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转动惯量 计算器| 二阶计算器- PureCalculators. 面積慣性矩(Product of Inertia for an area)︰ dIxy =xydA Ixy =∫xydA 單位4 ，值可為正.零.負。

#70. 微積分乙 - 第 273 頁 - Google 圖書結果

13 ,計算下面之三重積分,設 Q :器十嘉十君全 1 ///* //* ///*w 註這稱為橢球對 r , 9 , z 三軸的轉動慣量。 6.6 應用:重心 6.6.1 平面區域的重心本節繼續討論平面或 ...

#71. 微積分下冊: - 第 144 頁 - Google 圖書結果

轉動慣量 佔有 coy 平面上的區域 D ,面密度為 p ( x , y )的平面薄板對 x 軸、 y 軸及 ... 證明二重積分的中值定理:若 f ( x , y )在閉區域 D 上連續,則在 D 內至少存在 ...

#72. 力學: 牛頓力學, 彈性、液體和熱力學 - 第 105 頁 - Google 圖書結果

例如針對上面事實,我們可以歸納出「對連續的變化曲線才可以積分」。因為我們是從連續變化才得到曲線的,不是嗎?倒過來也應該成立,不是嗎? ( F )角動量、力矩和轉動慣量 ...

#73. 工程數學下冊: - 第 71 頁 - Google 圖書結果

對弧長的曲綫積分的物理應用向量的曲綫積分可如( I )式(或 VI 式)化爲函數 f ( x , y , z )沿曲綫 ... ( 3 )曲綫 C 繞坐標軸旋轉的轉動慣量 Me L2 = √ε ( y2 + z2 ) pdS ...

#74. 棒球物理大聯盟: 王建民也要會的物理學 - 第 263 頁 - Google 圖書結果

我們已知道力矩的大小與物體的旋轉支點有關,同樣地,物體的「轉動慣量」(Moment of ... 至物體內各點的距離,ρ(r')為物體於r'處的密度,積分仍是對物體的整個體積做積分。

#75. 基礎數學 - 第 113 頁 - Google 圖書結果

用積分的方法求一個球體的體積,請試由(1)圓板面積公式,求得一適當的積分方式,(2)三重積分的方式。 5. ... 質量分佈均勻的圓球,其半徑為R,試求對圓心軸的轉動慣量。